Το δήλιο πρόβλημα: ο διπλασιασμός του κύβου από τον Ερατοσθένη και ο μηχανισμός του μεσολάβου

   

Πρόκειται για το περίφημο στην αρχαιότητα δήλιο πρόβλημα, δηλαδή την κατασκευή ενός κύβου με όγκο διπλάσιο από τον όγκο ενός δοσμένου κύβου. Ονομάστηκε δήλιο, σύμφωνα με την παράδοση, εξαιτίας μιας επιδημίας στη Δήλο, για την οποία το μαντείο των Δελφών έδωσε χρησμό ότι θα σταματούσε, μόνο αν οι Δήλιοι κατασκεύαζαν έναν βωμό με διπλάσιο μέγεθος απ' αυτόν που υπήρχε. Στην αρχαιότητα το πρόβλημα λύθηκε με τις προσπάθειες διάσημων μαθηματικών (Αρχύτας, 5ος / 4ος αιώνας π.Χ., Εύδοξος ο Κνίδιος, 4ος αιώνας, Μέναιχμος, 4ος αιώνας, Ερατοσθένης, 3ος / 2ος αιώνας). Ο σχολιαστής των έργων του Αρχιμήδη Ευτόκιος (6ος αιώνας μ.Χ.), ο οποίος αναφέρει το πρόβλημα, μνημονεύει δώδεκα λύσεις που δόθηκαν ως την εποχή του, ανάμεσα στις οποίες και του Ερατοσθένη. Ο Ευτόκιος παραθέτει μια υποτιθέμενη (νόθα κατά πάσα πιθανότητα) επιστολή του Ερατοσθένη προς τον Πτολεμαίο Γ' τον Ευεργέτη, στην οποία εξέθετε το ιστορικό του δήλιου προβλήματος και ανέφερε μιαν άλλη παράδοση, σύμφωνα με την οποία κάποιος τραγωδός παρουσίασε τον Μίνωα επί σκηνής να ζητά την κατασκευή ενός κυβικού τάφου για το γιο του Γλαύκο. Όταν ο Μίνωας είδε ότι οι διαστάσεις του τάφου ήταν μικρές, έδωσε διαταγή να διπλασιαστεί κάθε του πλευρά, νομίζοντας ότι έτσι θα διπλασιαζόταν απλώς ο όγκος του, ενώ στην πραγματικότητα έτσι οκταπλασιάζεται. Έτσι τέθηκε το πρόβλημα που βασάνισε πολύ τους γεωμέτρες.[1] Σύμφωνα με την επιστολή που παραθέτει ο Ευτόκιος, πρώτος ο Ιπποκράτης ο Χίος διατύπωσε τη θεωρητική λύση του προβλήματος: χρειάζεται ο προσδιορισμός δύο μέσων αναλόγων δύο δοσμένων ευθύγραμμων τμημάτων, από τα το ένα να είναι διπλάσιο του άλλου. Δηλαδή, αν δοθούν δύο ευθύγραμμα τμήματα α και 2α, πρέπει να βρεθούν δύο άλλα ευθύγραμμα τμήματα x και y, ώστε να ισχύει η διπλή αναλογία α/x = x/y = y/ 2α. Τότε ισχύει χ³=2α³, όπου το χ είναι το μήκος της πλευράς ενός κύβου διπλάσιου όγκου από έναν άλλο δοθέντα με πλευρά α. Ο Ιπποκράτης γνώριζε σίγουρα τη συνεχή αναλογία και τις ιδιότητες της, εντούτοις αντιμετώπισε τελικά το πρόβλημα όχι αλγεβρικά, αλλά με μια γεωμετρική κατασκευή. Το ίδιο έκαναν και μεταγενέστεροι μαθηματικοί, όπως ο Εύδοξος ο Κνίδιος και ο Αρχύτας ο Ταραντίνος.

Αν ο Ιπποκράτης ο Χίος έδωσε τη θεωρητική λύση, ο Ερατοσθένης έδωσε την απλούστερη πρακτική με την κατασκευή του μεσολάβου: επρόκειτο για μια εύχρηστη μηχανική συσκευή, με την οποία ο χρήστης ήταν σε θέση να προσδιορίσει όχι μόνο δύο μέσες ανάλογες, αλλά όσες ήθελε. Πρόκειται για ένα ορθογώνιο μεταλλικό πλαίσιο, του οποίου η άνω και η κάτω πλευρά επιτρέπουν τη διολίσθηση τριών ίσων ορθογωνίων (1,2,3), για κάθε ένα από τα οποία θεωρούνται ομοδιευθυνόμενες παράλληλες διαγώνιοι. Το ορθογώνιο 2 διολισθαίνει κάτω από το ορθογώνιο 1, ενώ το 3 διολισθαίνει κάτω από το 2 (βλ. σχήμα).

Η υποτιθέμενη επιστολή του Ερατοσθένη, πηγή για την κατασκευή της οποίας φαίνεται ότι ήταν το χαμένο έργο του Πλατωνικός, τελειώνει με ένα επίγραμμα, το οποίο όμως κατά πάσα πιθανότητα είναι άσχετο μ' αυτήν και φαίνεται ότι γράφτηκε σε μαρμάρινη πλάκα στο ναό του Πτολεμαίου Φαραώ στην Αλεξάνδρεια από τον ίδιο τον Ερατοσθένη, παρά την κατά καιρούς αμφισβήτηση της συγγραφικής του πατρότητας, και αφιερώθηκε εκεί μαζί με ένα ομοίωμα του μεσολάβου. Το επίγραμμα είναι εν μέρει πεζό και εν μέρει έμμετρο. Στο πεζό δίνεται η λύση του προβλήματος με τη βοήθεια διαγράμματος, ενώ στο έμμετρο τμήμα, το οποίο και μεταφράζεται παρακάτω, γίνεται αναφορά στις λύσεις του Αρχύτα, του Εύδοξου και του Μέναιχμου.

Τον κύβο αν σκέφτεσαι, αγαθέ, από μικρό διπλάσιο να κάνεις

            ή κάθε φύση σταθερή σε άλλη μορφή ν' αλλάξεις,

            θα σου ήταν δυνατό αυτό, αν συ

            μάντρα ή αποθήκη ή το πλατύ το κοίλωμα φρεάτιου στρογγυλού

            μ' αυτό τον τρόπο τα μετρούσες:

            αν έκλεινες, σε δύο χάρακες εντός,

μέσες γραμμές που τέμνονται στα άκρα. [2]               

Κι ούτε να καταφεύγεις στου Αρχύτα τις δύσχρηστες

κυλινδρικές κατασκευές, [3]

            ούτε στου Μέναιχμου[4] τις κωνικές τριαδικές τομές,

            ούτε στον θεϊκό τον Εύδόξο, [5] σχήμα γραμμών καμπυλωτών αν έχει γράψει.

            Γιατί μ' αυτές τις πινακίδες[6]  εύκολα μύριες μέσες ανάλογες γραμμές

            θα φτιάχνεις, από μικρή αρχή εκκινώντας.

            Ευδαίμων είσαι Πτολεμαίε, [7] αφού πατέρας μαζί με το παιδί σου[8] ακμάζεις

            και όλα όσα είναι αγαπητά στις Μούσες και στους βασιλείς

            ο ίδιος του τα χάρισες. Αργότερα, ουράνιε Δία,

            είθε να λάβει από το χέρι σου τα σκήπτρα.

            Αυτά έτσι να γίνουν

και κάποιος την αφιέρωση αυτή αντικρίζοντας είθε να πει:

αυτό[9] του Κυρηναίου Ερατοσθένη είναι.

---

[1] Ακόμη μια παράδοση αναφέρει ο Πλούταρχος στο Περί του Σωκράτους δαιμονίου 7: «…επιστρέφοντας από την Αίγυπτο μας συνάντησαν στην περιοχή της Καρίας κάποιοι Δήλιοι, οι οποίοι παρακαλούσαν τον Πλάτωνα, ως έμπειρο στη γεωμετρία, να τους επιλύσει έναν αλλόκοτο χρησμό δοσμένο σ’ αυτούς από το θεό. Ο χρησμός αυτός έλεγε ότι θα παύσουν τα παρόντα κακά για τους Δήλιους και τους άλλους Έλληνες, αν διπλασιάσουν το βωμό που υπήρχε στη Δήλο. Εκείνοι, λοιπόν, ούτε το νόημα του χρησμού κατάφεραν να ερμηνεύσουν, αλλά και υπέστησαν και γελοιοποίηση κατά την κατασκευή του βωμού (γιατί όταν διπλασίαζαν κάθε μια από τις τέσσερις πλευρές, τους διέφυγε ότι με την αύξηση αυτή θα κατασκεύαζαν ένα στερεό με οχταπλάσιο όγκο, αφού αγνοούσαν την αναλογία με την οποία αν μεγαλώσει το μήκος των πλευρών θα προκύψει διπλάσιος όγκος). Έτσι προσκαλούσαν τον Πλάτωνα βοηθό στο αδιέξοδό τους. Κι εκείνος (= ο Πλάτων)… είπε ότι η λήψη δύο μέσων αναλόγων, που μόνο μέσω αυτής διπλασιάζεται το σχήμα ενός κυβικού σώματος με την αύξηση όλων του των διαστάσεων κατά την ίδια αναλογία, δεν είναι έργο διάνοιας φαύλης που βλέπει θαμπά, αλλά ασκημένης στο έπακρον στη γεωμετρία. Ότι αυτό το πρόβλημα θα τους βοηθήσει να το λύσουν ο Εύδοξος ο Κνίδιος ή ο Ελίκων ο Κυζικηνός. Δεν πρέπει, όμως, να νομίζουν ότι μόνο αυτό ποθεί ο θεός, αλλά ότι προστάζει όλους τούς Έλληνες αφήνοντας πίσω πολέμους και συμφορές ν’ ασχοληθούν με τις Μούσες και καταπραΰνοντας τα πάθη με τις συζητήσεις και τα μαθήματα να συμπεριφέρονται μεταξύ τους αβλαβώς και ωφέλιμα». Το ανέκδοτο με τον Πλάτωνα φαίνεται να ανάγεται στον 3ο αιώνα π.Χ. και συγκεκριμένα στον Πλατωνικό του Ερατοσθένη του Κυρηναίου, ο οποίος προσπάθησε να παρουσιάσει τον Πλάτωνα ως μαθηματικό, ως τον αληθινό ερμηνευτή της δελφικής σοφίας. 

            Ο Ελίκων που αναφέρεται στο χωρίο του Πλουτάρχου υπήρξε αστρονόμος και μαθηματικός από την Κύζικο, μαθητής του Πλάτωνα και του Εύδοξου. Αναφέρεται επίσης από τον Πλούταρχο και στο βίο του Δίωνα (19.6). όπου λέγεται ότι πήρε ως αμοιβή από τον τύραννο των Συρακουσών Διονύσιο το Νεότερο ένα ασημένιο τάλαντο, επειδή προέβλεψε επιτυχημένα μια έκλειψη ηλίου το 361 π.Χ.

[2] Πρόκειται για αναφορά στο σύστημα του μεσολάβου.

[3] Ο διάσημος Πυθαγόρειος Αρχύτας έλυσε το πρόβλημα με τη βοήθεια ενός κυλίνδρου, ενός κώνου και μιας σπείρας.

[4] Μαθηματικός που έζησε γύρω στα 350 π.Χ., μαθητής του Πλάτωνα και του Εύδοξου του Κνίδιου, θεμελιωτής της γεωμετρίας των κωνικών τομών. Έλυσε το πρόβλημα με δύο τρόπους: α) τομή των παραβολών x² = αy και y² = 2αx,   β) τομή μιας παραβολής και μιας υπερβολής : x² = αy και xy = 2α².

[5] Η λύση του Εύδοξου είναι μια καμπύλη τετάρτου βαθμού: α²( x²+ y²) =β²y⁴.

[6] Δηλ. με το μεταλλικό πλαίσιο του μεσολάβου.

[7] Πρόκειται για τον Πτολεμαίο Γ΄ τον Ευεργέτη (246-221 π.Χ.)

[8] Εννοείται ο Πτολεμαίος Δ΄ ο Φιλοπάτωρ (221-204 π.Χ.), του οποίου δάσκαλος ήταν ο Ερατοσθένης.

[9] Κατά πάσα πιθανότητα εννοείται ένας μεσόλαβος αφιερωμένος από τον Ερατοσθένη στο ναό του Πτολεμαίου.