Μετάβαση στο κύριο περιεχόμενο

Το δήλιο πρόβλημα: ο διπλασιασμός του κύβου από τον Ερατοσθένη και ο μηχανισμός του μεσολάβου

   


Πρόκειται για το περίφημο στην αρχαιότητα δήλιο πρόβλημα, δηλαδή την κατασκευή ενός κύβου με όγκο διπλάσιο από τον όγκο ενός δοσμένου κύβου. Ονομάστηκε δήλιο, σύμφωνα με την παράδοση, εξαιτίας μιας επιδημίας στη Δήλο, για την οποία το μαντείο των Δελφών έδωσε χρησμό ότι θα σταματούσε, μόνο αν οι Δήλιοι κατασκεύαζαν έναν βωμό με διπλάσιο μέγεθος απ' αυτόν που υπήρχε. Στην αρχαιότητα το πρόβλημα λύθηκε με τις προσπάθειες διάσημων μαθηματικών (Αρχύτας, 5ος / 4ος αιώνας π.Χ., Εύδοξος ο Κνίδιος, 4ος αιώνας, Μέναιχμος, 4ος αιώνας, Ερατοσθένης, 3ος / 2ος αιώνας). Ο σχολιαστής των έργων του Αρχιμήδη Ευτόκιος (6ος αιώνας μ.Χ.), ο οποίος αναφέρει το πρόβλημα, μνημονεύει δώδεκα λύσεις που δόθηκαν ως την εποχή του, ανάμεσα στις οποίες και του Ερατοσθένη. Ο Ευτόκιος παραθέτει μια υποτιθέμενη (νόθα κατά πάσα πιθανότητα) επιστολή του Ερατοσθένη προς τον Πτολεμαίο Γ' τον Ευεργέτη, στην οποία εξέθετε το ιστορικό του δήλιου προβλήματος και ανέφερε μιαν άλλη παράδοση, σύμφωνα με την οποία κάποιος τραγωδός παρουσίασε τον Μίνωα επί σκηνής να ζητά την κατασκευή ενός κυβικού τάφου για το γιο του Γλαύκο. Όταν ο Μίνωας είδε ότι οι διαστάσεις του τάφου ήταν μικρές, έδωσε διαταγή να διπλασιαστεί κάθε του πλευρά, νομίζοντας ότι έτσι θα διπλασιαζόταν απλώς ο όγκος του, ενώ στην πραγματικότητα έτσι οκταπλασιάζεται. Έτσι τέθηκε το πρόβλημα που βασάνισε πολύ τους γεωμέτρες.[1] Σύμφωνα με την επιστολή που παραθέτει ο Ευτόκιος, πρώτος ο Ιπποκράτης ο Χίος διατύπωσε τη θεωρητική λύση του προβλήματος: χρειάζεται ο προσδιορισμός δύο μέσων αναλόγων δύο δοσμένων ευθύγραμμων τμημάτων, από τα το ένα να είναι διπλάσιο του άλλου. Δηλαδή, αν δοθούν δύο ευθύγραμμα τμήματα α και 2α, πρέπει να βρεθούν δύο άλλα ευθύγραμμα τμήματα x και y, ώστε να ισχύει η διπλή αναλογία α/x = x/y = y/ 2α. Τότε ισχύει χ³=2α³, όπου το χ είναι το μήκος της πλευράς ενός κύβου διπλάσιου όγκου από έναν άλλο δοθέντα με πλευρά α. Ο Ιπποκράτης γνώριζε σίγουρα τη συνεχή αναλογία και τις ιδιότητες της, εντούτοις αντιμετώπισε τελικά το πρόβλημα όχι αλγεβρικά, αλλά με μια γεωμετρική κατασκευή. Το ίδιο έκαναν και μεταγενέστεροι μαθηματικοί, όπως ο Εύδοξος ο Κνίδιος και ο Αρχύτας ο Ταραντίνος.

Αν ο Ιπποκράτης ο Χίος έδωσε τη θεωρητική λύση, ο Ερατοσθένης έδωσε την απλούστερη πρακτική με την κατασκευή του μεσολάβου: επρόκειτο για μια εύχρηστη μηχανική συσκευή, με την οποία ο χρήστης ήταν σε θέση να προσδιορίσει όχι μόνο δύο μέσες ανάλογες, αλλά όσες ήθελε. Πρόκειται για ένα ορθογώνιο μεταλλικό πλαίσιο, του οποίου η άνω και η κάτω πλευρά επιτρέπουν τη διολίσθηση τριών ίσων ορθογωνίων (1,2,3), για κάθε ένα από τα οποία θεωρούνται ομοδιευθυνόμενες παράλληλες διαγώνιοι. Το ορθογώνιο 2 διολισθαίνει κάτω από το ορθογώνιο 1, ενώ το 3 διολισθαίνει κάτω από το 2 (βλ. σχήμα).

Η υποτιθέμενη επιστολή του Ερατοσθένη, πηγή για την κατασκευή της οποίας φαίνεται ότι ήταν το χαμένο έργο του Πλατωνικός, τελειώνει με ένα επίγραμμα, το οποίο όμως κατά πάσα πιθανότητα είναι άσχετο μ' αυτήν και φαίνεται ότι γράφτηκε σε μαρμάρινη πλάκα στο ναό του Πτολεμαίου Φαραώ στην Αλεξάνδρεια από τον ίδιο τον Ερατοσθένη, παρά την κατά καιρούς αμφισβήτηση της συγγραφικής του πατρότητας, και αφιερώθηκε εκεί μαζί με ένα ομοίωμα του μεσολάβου. Το επίγραμμα είναι εν μέρει πεζό και εν μέρει έμμετρο. Στο πεζό δίνεται η λύση του προβλήματος με τη βοήθεια διαγράμματος, ενώ στο έμμετρο τμήμα, το οποίο και μεταφράζεται παρακάτω, γίνεται αναφορά στις λύσεις του Αρχύτα, του Εύδοξου και του Μέναιχμου.

Τον κύβο αν σκέφτεσαι, αγαθέ, από μικρό διπλάσιο να κάνεις
            ή κάθε φύση σταθερή σε άλλη μορφή ν' αλλάξεις,
            θα σου ήταν δυνατό αυτό, αν συ
            μάντρα ή αποθήκη ή το πλατύ το κοίλωμα φρεάτιου στρογγυλού
            μ' αυτό τον τρόπο τα μετρούσες:
            αν έκλεινες, σε δύο χάρακες εντός,
μέσες γραμμές που τέμνονται στα άκρα. [2]               
Κι ούτε να καταφεύγεις στου Αρχύτα τις δύσχρηστες
κυλινδρικές κατασκευές, [3]
            ούτε στου Μέναιχμου[4] τις κωνικές τριαδικές τομές,
            ούτε στον θεϊκό τον Εύδόξο, [5] σχήμα γραμμών καμπυλωτών αν έχει γράψει.
            Γιατί μ' αυτές τις πινακίδες[6]  εύκολα μύριες μέσες ανάλογες γραμμές
            θα φτιάχνεις, από μικρή αρχή εκκινώντας.
            Ευδαίμων είσαι Πτολεμαίε, [7] αφού πατέρας μαζί με το παιδί σου[8] ακμάζεις
            και όλα όσα είναι αγαπητά στις Μούσες και στους βασιλείς
            ο ίδιος του τα χάρισες. Αργότερα, ουράνιε Δία,
            είθε να λάβει από το χέρι σου τα σκήπτρα.
            Αυτά έτσι να γίνουν
και κάποιος την αφιέρωση αυτή αντικρίζοντας είθε να πει:
αυτό[9] του Κυρηναίου Ερατοσθένη είναι.





[1] Ακόμη μια παράδοση αναφέρει ο Πλούταρχος στο Περί του Σωκράτους δαιμονίου 7: «…επιστρέφοντας από την Αίγυπτο μας συνάντησαν στην περιοχή της Καρίας κάποιοι Δήλιοι, οι οποίοι παρακαλούσαν τον Πλάτωνα, ως έμπειρο στη γεωμετρία, να τους επιλύσει έναν αλλόκοτο χρησμό δοσμένο σ’ αυτούς από το θεό. Ο χρησμός αυτός έλεγε ότι θα παύσουν τα παρόντα κακά για τους Δήλιους και τους άλλους Έλληνες, αν διπλασιάσουν το βωμό που υπήρχε στη Δήλο. Εκείνοι, λοιπόν, ούτε το νόημα του χρησμού κατάφεραν να ερμηνεύσουν, αλλά και υπέστησαν και γελοιοποίηση κατά την κατασκευή του βωμού (γιατί όταν διπλασίαζαν κάθε μια από τις τέσσερις πλευρές, τους διέφυγε ότι με την αύξηση αυτή θα κατασκεύαζαν ένα στερεό με οχταπλάσιο όγκο, αφού αγνοούσαν την αναλογία με την οποία αν μεγαλώσει το μήκος των πλευρών θα προκύψει διπλάσιος όγκος). Έτσι προσκαλούσαν τον Πλάτωνα βοηθό στο αδιέξοδό τους. Κι εκείνος (= ο Πλάτων)… είπε ότι η λήψη δύο μέσων αναλόγων, που μόνο μέσω αυτής διπλασιάζεται το σχήμα ενός κυβικού σώματος με την αύξηση όλων του των διαστάσεων κατά την ίδια αναλογία, δεν είναι έργο διάνοιας φαύλης που βλέπει θαμπά, αλλά ασκημένης στο έπακρον στη γεωμετρία. Ότι αυτό το πρόβλημα θα τους βοηθήσει να το λύσουν ο Εύδοξος ο Κνίδιος ή ο Ελίκων ο Κυζικηνός. Δεν πρέπει, όμως, να νομίζουν ότι μόνο αυτό ποθεί ο θεός, αλλά ότι προστάζει όλους τούς Έλληνες αφήνοντας πίσω πολέμους και συμφορές ν’ ασχοληθούν με τις Μούσες και καταπραΰνοντας τα πάθη με τις συζητήσεις και τα μαθήματα να συμπεριφέρονται μεταξύ τους αβλαβώς και ωφέλιμα». Το ανέκδοτο με τον Πλάτωνα φαίνεται να ανάγεται στον 3ο αιώνα π.Χ. και συγκεκριμένα στον Πλατωνικό του Ερατοσθένη του Κυρηναίου, ο οποίος προσπάθησε να παρουσιάσει τον Πλάτωνα ως μαθηματικό, ως τον αληθινό ερμηνευτή της δελφικής σοφίας. 
            Ο Ελίκων που αναφέρεται στο χωρίο του Πλουτάρχου υπήρξε αστρονόμος και μαθηματικός από την Κύζικο, μαθητής του Πλάτωνα και του Εύδοξου. Αναφέρεται επίσης από τον Πλούταρχο και στο βίο του Δίωνα (19.6). όπου λέγεται ότι πήρε ως αμοιβή από τον τύραννο των Συρακουσών Διονύσιο το Νεότερο ένα ασημένιο τάλαντο, επειδή προέβλεψε επιτυχημένα μια έκλειψη ηλίου το 361 π.Χ.
[2] Πρόκειται για αναφορά στο σύστημα του μεσολάβου.
[3] Ο διάσημος Πυθαγόρειος Αρχύτας έλυσε το πρόβλημα με τη βοήθεια ενός κυλίνδρου, ενός κώνου και μιας σπείρας.
[4] Μαθηματικός που έζησε γύρω στα 350 π.Χ., μαθητής του Πλάτωνα και του Εύδοξου του Κνίδιου, θεμελιωτής της γεωμετρίας των κωνικών τομών. Έλυσε το πρόβλημα με δύο τρόπους: α) τομή των παραβολών x² = αy και y² = 2αx,   β) τομή μιας παραβολής και μιας υπερβολής : x² = αy και xy = 2α².
[5] Η λύση του Εύδοξου είναι μια καμπύλη τετάρτου βαθμού: α²( x²+ y²) =β²y4.
[6] Δηλ. με το μεταλλικό πλαίσιο του μεσολάβου.
[7] Πρόκειται για τον Πτολεμαίο Γ΄ τον Ευεργέτη (246-221 π.Χ.)
[8] Εννοείται ο Πτολεμαίος Δ΄ ο Φιλοπάτωρ (221-204 π.Χ.), του οποίου δάσκαλος ήταν ο Ερατοσθένης.
[9] Κατά πάσα πιθανότητα εννοείται ένας μεσόλαβος αφιερωμένος από τον Ερατοσθένη στο ναό του Πτολεμαίου.

Δημοφιλείς αναρτήσεις από αυτό το ιστολόγιο

H ερωτική κατάρα από την Πέλλα: το πρώτο κείμενο της μακεδονικής διαλέκτου που ήρθε στο φως

To 1986 βρέθηκε στην Πέλλα ένα από τα σημαντικότερα από γλωσσική άποψη κείμενα της μακεδονικής γης.[1]Πρόκειται για ένα ταπεινό κείμενο, μια ερωτική κατάρα (κατάδεσμος), αλλά αποτελεί μια από τις σπουδαιότερες άμεσες μαρτυρίες για την ελληνική διάλεκτο που μιλούσε ο μακεδονικός λαός στην πρωτεύουσα του βασιλείου του. Χρονολογείται γύρω στα 375-350 π.Χ. και δείχνει πέραν πάσης αμφιβολίας ότι η γλώσσα των Μακεδόνων αποτελούσε μια ξεχωριστή παραλλαγή των λεγόμενων βορειοδυτικών ελληνικών διαλέκτων, που με τη σειρά τους συγγενεύουν στενά με την δωρική. Όπως σημειώνει ο Crespo 2012, 55: «Ο ερωτικός κατάδεσμος παρέχει έναν νέο τύπο βορειοδυτικής δωρικής και δεν έχει παράλληλο στις λογοτεχνικές διαλέκτους. Οι μέχρι τώρα γνωστοί κατάδεσμοι είναι όλοι γραμμένοι στην τοπική διάλεκτο της περιοχής όπου βρέθηκαν και δεν υπάρχει λόγος να υποτεθεί ότι η πινακίδα αυτή αποτελεί εξαίρεση στον κανόνα. Εφόσον ο κατάδεσμος από την Πέλλα παρουσιάζει έναν συνδυασμό διαλεκτικών χαρακτηριστικών που διαφέρει α…

Η "Ελένη" του Σεφέρη: η κατάρρευση των ορίων και των αντιθέσεων

Η σύντομη ανάλυση που ακολουθεί είναι αποτέλεσμα προσωπικής ανάγνωσης (ή μήπως παρανάγνωσης;) ενός ποιήματος του Σεφέρη που θαυμάζω απεριόριστα. Στην πραγματικότητα το θεωρώ το ωραιότερο μεμονωμένο ποίημα της νεοελληνικής λογοτεχνίας, επομένως η ερμηνεία μου είναι aprioriβαθιά υποκειμενική. Δεν θα επιμείνω ιδιαίτερα στη σύνδεση του κειμένου με στοιχεία από την ζωή του ποιητή ή στη σύνδεση με στοιχεία από τα ιστορικά γεγονότα του 20ού αιώνα, όπως ο κυπριακός αγώνας. Αυτά υπάρχουν και έχουν κατά κόρον επισημανθεί. Θα δώσω έμφαση σε θέματα που με ενδιαφέρουν από μια προσωπική οπτική γωνία, κυρίως στην κατάρρευση διαφόρων αντιθέσεων και ορίων μέσα στο πλαίσιο του ποιήματος.   Ο Σεφέρης στην Ελένη του, ένα από τα δημοφιλέστερα ποιήματα της νεοελληνικής λογοτεχνίας, αναμετράται με τον μύθο της Ωραίας Ελένης και του Τρωικού Πολέμου γενικότερα, δίνοντάς μας μια αριστουργηματική σύνθεση. Η συνομιλία με το μύθο δεν είναι επιφανειακή, δεν γίνεται για χάρη του μύθου. Το ποίημα δεν είνα…

LUCERNAE FICTILES, VOL. 2, 1743

Ο ἀσφοδελὸς λειμών του Ομήρου: μια διαφορετική γλωσσική ανάλυση

O ἀσφοδελὸς λειμών του Ομήρου, όπου κατοικούν τα πνεύματα των νεκρών (Οδύσσεια ω 14), γίνεται συνήθως αντιληπτός ως ένας ευχάριστος, ακόμη και επιθυμητός τόπος. Αυτή ήταν η εντύπωση μεταξύ πολλών από τους αρχαίους Έλληνες ποιητές και ομηρικούς σχολιαστές, οι οποίοι θεώρησαν ότι το επίθετο ἀσφοδελός σημαίνει «ανθισμένος», «ευωδιαστός», «γόνιμος» και «καταπράσινος» και φαντάστηκαν τον λειμώνα ως ένα είδος «παραδείσου». 
Ωστόσο δεν είναι αυτή η εικόνα που προκύπτει από τις ραψωδίες λ και ω της Οδύσσειας, όπου έχουμε την πρώτη εκτεταμένη περιγραφή του Άδη και τις πρωιμότερες αναφορές σε ένα «ασφοδελό λιβάδι». Τα τρία χωρία, στα οποία ο Άδης χαρακτηρίζεται μ’ αυτό τον τρόπο (λ 539, 573, ω 13), απεικονίζουν ένα σκοτεινό, ζοφερό και άχαρος μέρος. 
Αυτά δεν είναι τα Ηλύσια Πεδία, όπου η ζωή είναι εύκολη και φυσάει πάντα ένας δροσιστικός δυτικός άνεμος (δ 561 - 569). Ούτε είναι τα Νησιά των Μακάρων, όπου το έδαφος φέρει τους γλυκούς καρπούς του για τους διακεκριμένους και ανέμελους ήρωες (Ησίοδο…

Λορέντζος Μαβίλης: όλα τα σονέτα (μέρος 2ο)

Μέρος 1ο

Μέρος 3ο

Όλα σε μορφή pdf


ΕΛΙΑ Στην κουφάλα σου εφώλιασε μελίσσι, γέρικη ελιά, που γέρνεις με τη λίγη πρασινάδα που ακόμα σε τυλίγει σα να ‘θελε να σε νεκροστολίσει.
Και το κάθε πουλάκι, στο μεθύσι της αγάπης πιπίζοντας, ανοίγει στο κλαρί σου ερωτιάρικο κυνήγι, στο κλαρί σου που δε θα ξανανθίσει.
Ω πόσο στη θανή θα σε γλυκάνουν, με τη μαγευτικιά βοή που κάνουν, ολοζώντανης νιότης ομορφάδες
που σα θύμησες μέσα σου πληθαίνουν. Ω να μπορούσαν έτσι να πεθαίνουν και άλλες ψυχές, της ψυχής σου αδερφάδες.

ΟΜΟΡΦΙΑ Σε  σταυροδρόμια αγέλαστα, όπου σκλάβοι της δουλειάς, τυραγνιούνται στο λιοβόρι, σαν κολασμένοι, εμπόροι και μαστόροι, κι όλους, από το χτίστη ως το μανάβη,
διάφορου δίψα μόνο τους ανάβει− περνάς εσύ τόμου σκολάσεις, κόρη, σαν περιστέρι, και το αγνό σου θώρι τέλεια κάθε άλλη επιθυμία τους παύει.
Μακριά απ’ τ’ ανθισμένα περιβόλια και αφώτιστοι απ’ της τέχνης την αχτίδα, όμως για σε ξεχνούν καθ’ έγνοια δόλια
και ειρηνεμένοι σαν από άγια ελπίδα σε καμαρώνουν μουρμουρίζοντάς σου: «Η Παναγιά, πιτσούνι μου, κο…

Η καταγωγή των Ετρούσκων

Οι Ετρούσκοι υπήρξαν λαός της Ιταλίας, φορείς ενός εξαιρετικού πολιτισμού, ο οποίος επηρέασε σε μεγάλο βαθμό την Ρώμη στην αρχαϊκή της φάση. Στην αρχή ήταν πολιτικοί επικυρίαρχοι της Ρώμης, αργότερα υπέκυψαν στη ρωμαϊκή δύναμη και αφομοιώθηκαν πολιτιστικά, γλωσσικά και εθνολογικά από αυτήν. Μεγάλες ετρουσκικές αριστοκρατικές οικογένειες ενσωματώθηκαν στη ρωμαϊκή άρχουσα τάξη, ανάμεσά τους λ.χ. και η οικογένεια του Κικέρωνα, του σπουδαίου ρήτορα και πολιτικού της Respublica.          Με τη σειρά τους οι Ετρούσκοι δέχτηκαν σε πρώιμη εποχή έντονη την επίδραση του ελληνικού πολιτισμού, μέσω των ελληνικών αποικιών της Κάτω Ιταλίας και της Σικελίας: υιοθέτησαν το ελληνικό αλφάβητο, το ελληνικό πάνθεον και την ελληνική τέχνη, προσαρμόζοντάς τα στις ανάγκες τους. Πολλές φορές μάλιστα στοιχεία του ελληνικού πολιτισμού μεταδόθηκαν στους Ρωμαίους όχι άμεσα, αλλά μέσω των Ετρούσκων.                    Ένα χρόνιο πρόβλημα που απασχόλησε και απασχολεί τους ιστορικούς ήταν η καταγωγή του λαού αυτ…

O θεσμός της προξενίας στην Αρχαία Ελλάδα

Ο θεσμός της προξενίας, με τον οποίο μια πόλη συνάπτει ένα είδος σχέσης με κάποιο άτομο σε άλλη πόλη στη βάση του αντίστοιχου προτύπου της ξενίας στην ιδιωτική σφαίρα ζωής, φαίνεται ότι θεσμοποιήθηκε στις ελληνικές πόλεις ήδη από τον 7ο αιώνα π.Χ.ως κρατική πολιτική εκδοχή της παραδοσιακής ξενίας, αφού στην αρχαιότητα δεν υπήρχαν τακτικές διπλωματικές υπηρεσίες, ούτε μόνιμες πρεσβείες στο εξωτερικό. Είναι χαρακτηριστικό ότι την ίδια μετάβαση από την ιδιωτική στη δημόσια σφαίρα που παρατηρούμε στη σχέση μεταξύ ξενίας και προξενίας μπορούμε να την παρατηρήσουμε και στην περίπτωση των adhoc πρέσβεων, κηρύκων και αγγελιαφόρων, οι οποίοι δεν αποτελούν πια ιδιωτικά πρόσωπα, αλλά ορίζονται από τη συνέλευση (Βουλή ή Εκκλησία), συνήθως με εκλογή, και εκπροσωπούν την πόλη. Γενικά ο πρόξενος προσέφερε σε επίσημο επίπεδο τις υπηρεσίες που ένας ιδιώτης θα περίμενε από έναν ξένο.Ο πρόξενος αναλάμβανε να μιλήσει για λογαριασμό των ξένων στη συνέλευση του λαού ή στη Βουλή και ήταν επίσης υποχρεωμένος…

Giovanni Battista Passeri, Picturae Etruscorum in vasculis, vol. 2, Roma 1770

A. L. Millin, Pierres gravées inédites, 1817

Η ετυμολογία της λέξης αριστερός (και το όνομα της Αριάδνης)

Η λέξη ἀριστερός συνδέεται από τους γλωσσολόγους με τη λέξη ἄριστος. Το πρόσφυμα -τερος διατηρεί εδώ την πρωταρχική του αντιθετική σημασία (= αυτός που είναι στα αριστερά σε αντίθεση με αυτόν που είναι στα δεξιά -πβ. δεξιτερός = δεξιός, ὀρέστερος = ο ορεινός σε αντίθεση με τον πεδινό). Η λέξη επομένως σχηματίστηκε προτού το πρόσφυμα αποκτήσει την κυρίως συγκριτική σημασία που έχει στα «ομαλά» συγκριτικά (όπως π.χ. σεμνός, σεμνότερος). Η αρχική σημασία του αριστερός, συνεπώς, ήταν «άριστος». Η τοπική σημασία προήλθε από την μαντική τέχνη ως ευφημισμός: οι οιωνοί που έρχονταν από τα αριστερά θεωρούνταν δυσοίωνοι και η λέξη αριστερός χρησιμοποιήθηκε με ευφημιστικό τρόπο (= «αυτός που έρχεται από την καλή μεριά». Πβ. και την εξίσου ευφημιστική χρήση του επιθέτου εὐώνυμος, «αυτός που έχει καλό όνομα», = αριστερός).  
Με τη σειρά της η λέξη ἄριστος περιέχει το υπερθετικό πρόσφυμα -ιστος και αποτελεί υπερθετικό βαθμό του συγκριτικού ἀρείων (καλύτερος). Στην ίδια ομάδα λέξεων ανήκει και το πρό…