Ο αριθμός των βοδιών του Ήλιου: το βοϊκόν πρόβλημα του Αρχιμήδη


Το 1773 ο φημισμένος Γερμανός συγγραφέας G. E. Lessing ανακάλυψε χειρόγραφο, το οποίο περιείχε ένα άγνωστο μέχρι τότε αρχαίο ελληνικό ποίημα. Το χειρόγραφο απέδιδε το κείμενο στον Αρχιμήδη (287-212 π.Χ.), ενώ το ποίημα από τότε έγινε γνωστό με τον τίτλο βοϊκόν πρόβλημα (=το πρόβλημα των βοδιών). Η σύνθεση έχει έκταση 44 στίχων και αντλεί την έμπνευσή της  από  την περίφημη ομηρική περιγραφή των βοδιών του Ήλιου στη δωδέκατη ραψωδία της Οδύσσειας και την αριθμητική της πλευρά. Μόνο που τα μαθηματικά του Αρχιμήδη είναι φυσικά πολύ περισσότερο περίπλοκα: έχουμε να κάνουμε με μια περιγραφή των σχετικών αναλογιών των μαύρων, λευκών, ξανθών και ποικιλόχρωμων κοπαδιών από βόδια, τα οποία στη συνέχεια κατανέμονται γεωμετρικά στη Σικελία.[1] Από την εποχή της ανακάλυψης του έργου οι μελετητές ασχολήθηκαν κυρίως με τη μαθηματική πλευρά του ποιήματος, διατυπώνοντας λύσεις και τονίζοντας την περιπλοκότητα αυτών των λύσεων. Μόνο το 1965 το πρόβλημα λύθηκε αριθμητικά και καταγράφηκε στην πληρότητά του: το αποτέλεσμα είναι ένας αριθμός του οποίου τα ψηφία γεμίζουν 42 σελίδες χαρτιού.[2] Στη μαθηματική μελέτη του προβλήματος τονίζεται κυρίως το γεγονός ότι οι αρχαίοι, και προπάντων ο Αρχιμήδης, είχαν συνειδητοποιήσει την λειτουργία των διαφορικών εξισώσεων, καθώς και τις πιθανές περιπλοκότητες και τα όριά τους.[3] Από φιλολογική άποψη έχει μελετηθεί προπάντων η αυθεντικότητα του κειμένου, χωρίς όμως αυτό το πρόβλημα να έχει λυθεί οριστικά. Δύο είναι οι κύριες δυνατότητες: το ποίημα να είναι αυθεντικό ή εναλλακτικά να πρόκειται για μια μεταγενέστερη ποιητική παράφραση ενός προβλήματος που είχε θέσει ο σπουδαίος επιστήμονας. Ωστόσο γενικά πολλοί φιλόλογοι σήμερα τείνουν να  αποδεχτούν την αυθεντικότητα της σύνθεσης. Σύμφωνα με το χειρόγραφο στο οποίο  βρέθηκε καταγραμμένο το ποίημα, αυτό περιλαμβανόταν σε μια επιστολή του Αρχιμήδη προς τον Ερατοσθένη τον Κυρηναίο, αλλά οι πραγματικοί αποδέκτες του ήταν οι μαθηματικοί της Αλεξάνδρειας. Αν δεχτούμε την αυθεντικότητα της σύνθεσης, τότε βρισκόμαστε πραγματικά μέσα στο πλαίσιο της ελληνιστικής παράδοσης να στέλνει ένας λόγιος ποιητής τα ποιήματά του σε έναν άλλο λόγιο ποιητή.[4]

(Supplementum Hellenisticum 201:)[5]
            Το πλήθος των βοδιών του Ήλιου, ξένε, μέτρα,
την προσοχή σου προσηλώνοντας, αν έχεις μερίδιο στη σοφία.[6]
Πόσα άραγε βόδια έβοσκαν κάποτε στις πεδιάδες του σικελικού νησιού
της Θρινακίας,[7] σε τέσσερις ομάδες χωρισμένα,
στο χρώμα διαφέροντας. Η μία ομάδα ήταν λευκή σαν γάλα,
η άλλη με χρώμα μαύρο έλαμπε,
μια άλλη με ξανθό, μια άλλη ήταν ποικιλόχρωμη.
Σε κάθε ομάδα ήτανε πλήθος ταύροι μοιρασμένοι
σε τέτοια αναλογία: οι λευκοί ήταν ίσοι
με το μισό συν ένα τρίτο των μαύρων
και όλων των ξανθών.[8] Αυτό κατάλαβέ το, ξένε.
 Οι μαύροι ήταν το ένα τέταρτο
συν το ένα πέμπτο των ποικιλόχρωμων και του συνόλου των ξανθών.[9]
Οι ποικιλόχρωμοι που υπολείπονταν υπολόγισε πως ήταν άθροισμα
ισοδύναμο του ενός έκτου και του ενός εβδόμου
των λευκών και όλων των ξανθών.[10]
Τα θηλυκά βόδια είχαν ως εξής: τα λευκότριχα
ήταν ακριβώς ίσα με το ένα τρίτο όλης
της μαύρης αγέλης συν το ένα τέταρτό της.[11]
Οι μαύρες θηλυκές ισοδυναμούσαν
με το ένα τέταρτο των ποικιλόχρωμων συν το ένα πέμπτο τους,
όταν στο βοσκοτόπι έρχονταν όλες μαζί με τους ταύρους.[12]
Οι ποικιλόχρωμες στο πλήθος ήταν ισάριθμες πραγματικά
με το ένα πέμπτο συν το ένα έκτο της αγέλης των ξανθότριχων.[13]
Οι ξανθές πάλι ήταν ίσες στον αριθμό με το μισό του ενός τρίτου
συν το ένα έβδομο της λευκής αγέλης.[14]
Ξένε, εσύ αν πεις πόσα ήταν ακριβώς τα βόδια του Ήλιου,
χωριστά τον αριθμό των καλοθρεμμένων ταύρων
καθώς και πόσες ήταν οι θηλυκές ανάλογα με το χρώμα τους,
δεν θα θεωρείσαι αμαθής, ούτε αδαής στους αριθμούς.
Όμως ακόμη δεν θα αριθμείσαι ανάμεσα στους σοφούς.[15] Εμπρός σκέψου
και όλες τις ακόλουθες ιδιότητες των βοδιών του Ήλιου:
οι ταύροι με το λευκό χρώμα, όταν ανακάτευαν το πλήθος τους
με τους μαύρους, στέκονταν ακριβώς ισόμετροι
στο βάθος και στο πλάτος,[16] ενώ εξ ολοκλήρου γέμιζαν
με το πλήθος τους τις πολύ μακρές πεδιάδες της Θρινακίας.
Οι ξανθοί πάλι και οι ποικιλόχρωμοι, όταν αθροίζονταν μαζί σε ένα κοπάδι,
στέκονταν αρχικά ένας, αλλά σταδιακά ολοκλήρωναν
ένα τρίγωνο σχήμα, δίχως προσθήκη
ταύρων με άλλο χρώμα, ούτε αφαίρεση.[17]
Κι αυτά εάν τα βρεις όλα μαζί και τα μετρήσεις στο μυαλό σου
και υπολογίσεις όλους τους αριθμούς από τα πλήθη, ξένε,
πήγαινε νικηφόρος όλο δόξα και να ξέρεις πως από κάθε άποψη
έχεις κριθεί γεμάτος με τούτη τη σοφία.[18]




[1] Η Σικελία ήταν φυσικά το νησί από το οποίο καταγόταν ο Αρχιμήδης.
[2] Αυτό δεν σημαίνει ότι δεν είχαν προηγηθεί σημαντικά βήματα για την επίλυση του προβλήματος. Ανάμεσα στους μαθηματικούς που συνέβαλαν στην πορεία προς τη λύση ήταν ο Wurm (1830), o Nesselmann (1842) και ο Amthor (1880). Ο τελευταίος ανακάλυψε μια μέθοδο για τον υπολογισμό του μεγάλου μεγέθους της λύσης, εκφράζοντας μόνο τα τέσσερα πρώτα σημαντικά ψηφία ενός αριθμού που περιλαμβάνει εκατοντάδες χιλιάδες ψηφία.
[3] Παραμένει ακόμη ασαφές με ποιον τρόπο οι αρχαίοι μαθηματικοί θα ξεκινούσαν να σκέφτονται για να λύσουν το πρόβλημα, ούτε είναι γνωστό εάν ο δημιουργός του μαθηματικού προβλήματος γνώριζε τις ποσότητες εκ των προτέρων. Ένα άλλο έργο του Αρχιμήδη (Ψαμμίτης) αναπτύσσει πράγματι ένα σύστημα για την αντιμετώπιση πολύ μεγάλων αριθμών.
[4] Ποιητικά επιγράμματα τα οποία αποτελούν μαθηματικούς γρίφους έχουν συγκεντρωθεί στο δέκατο τέταρτο βιβλίο της Παλατινής ανθολογίας.
[5] Το ομηρικό χωριό στο οποίο στηρίζεται το ποίημα μας είναι το ακόλουθο (μ 127-130 -μιλά η Κίρκη στον Οδυσσέα και του δίνει οδηγίες για το ταξίδι του):
Θα φτάσεις στο νησί της Θρινακίας. Εκεί βόσκουν πλήθος
βόδια του Ήλιου και παχιά πρόβατα.
Επτά είναι οι αγέλες των βοδιών, τόσες και των ωραίων προβάτων,
και κάθε αγέλη έχει πενήντα ζωντανά.
[6] Το ποίημα ή η φωνή που μιλά προσποιείται ότι το κείμενο είναι γραμμένο σε μια επιγραφή που έχει στηθεί σε δημόσιο χώρο και ότι κάποιος περαστικός, ο οποίος αποκαλείται τυπικά ξένος, θα σταθεί και θα το διαβάσει και θα προσπαθήσει να λύσει το πρόβλημα. Αυτού του είδους η λεκτική προσποίηση είναι συνήθης στα ελληνιστικά επιγράμματα.
[7] Η Θρινακία ταυτιζόταν από πολλούς αρχαίους συγγραφείς με το νησί της Σικελίας. Μάλιστα υπήρχε η άποψη ότι το όνομα αποτελούσε παραφθορά ενός αρχικού τύπου Τρινακρία, τρεις άκρες, με παραπομπή στο τριγωνικό σχήμα του νησιού.

[8] Η πρώτη από επτά εξισώσεις. Λ = Λευκός, Μ = Μαύρος, Ξ = Ξανθός, Π = Ποικιλόχρωμος. Τα αντίστοιχα μικρά γράμματα αφορούν τα θηλυκά, τις αγελάδες.
       Λ = (1/2+1/3) Μ+Ξ = 5/6 Μ+Ξ.

[9] Μ = (1/4+1/5) Π+Ξ = 9/20 Π+Ξ.
[10] Π = (1/6+1/7) Λ+Ξ = 13/42 Λ+Ξ.
[11] λ = (1/3+1/4) (Μ+μ) = 7/12 (Μ+μ).
[12] μ = (1/4+1/5) (Π+π) = 9/20 (Π+π).
[13] π = (1/5+1/6) (Ξ+ξ) = 11/30 (Ξ+ξ).
[14] ξ = (1/6+1/7) (Λ+λ) = 13/42 (Λ+λ).
[15] Λεκτικό παίγνιο με τη λέξη ἐναρίθμιος.
[16] Δηλαδή σχημάτιζαν τετράγωνο. Σύμφωνα με μια άλλη ερμηνεία το άθροισμά τους ήταν τετράγωνος αριθμός.
[17] Το άθροισμα των ποικιλόχρωμων και των ξανθών ταύρων ήταν τρίγωνος αριθμός. Ξεκινούσαν με έναν ταύρο στην πρώτη σειρά, δύο στη δεύτερη σειρά κ.ο.κ. Έτσι σχηματιζόταν ένας αριθμός της μορφής 1+2+3+4+…ν, που αντιστοιχεί σε ένα ισόπλευρο τρίγωνο με πλευρά ν.
[18] Το λεξιλόγιο του τελευταίου τμήματος του κειμένου θυμίζει την Σφίγγα, η οποία απαιτεί από τον διαβάτη την επίλυση του αινίγματος προκειμένου να τον αφήσει να προχωρήσει, ενώ το επίθετο νικηφόρος παραπέμπει στις επινίκιες ωδές του Πινδάρου, όπως και η μετοχή κεκριμένος (=αυτός που αγωνίστηκε και κρίθηκε νικητής), μόνο που εδώ το αγωνιστικό πλαίσιο δεν είναι η αθλητική ικανότητα, αλλά η μαθηματική, καθώς και η γενικότερη ικανότητα της λογιοσύνης, μέρος της οποίας είναι και η ποιητική τεχνική, ιδίως η τεχνική των λογοτεχνικών υπαινιγμών στην προγενέστερη ποίηση και ιδιαίτερα στην ομηρική.